Пока в цикле статей по сопротивлению материалов мы лишь немного касались геометрии сечения и её влияния на прочность конструкции. В частности, в статье о эпюре продольных сил рассматривались площадь тела, как одна из основных характеристик, влияющих на величину нормальных напряжений. Впрочем, площадь, как самостоятельная характеристика, нуждается в более детальном представлении. Именно поэтому вы попали в цикл внутри цикла, в котором мы более подробно разберёмся с геометрическими характеристиками, использующимися в сопромате и других инженерных дисциплинах.
Итак, площадь сечения.

Всегда положительна. Не зависит от выбора системы координат. Имеет размерность см².
Здесь и далее я буду указывать размерность в сантиметрах. Это нужно лишь для того, чтобы показать степень величины, а сантиметры очень удобны для расчетов сечений строительных конструкций. Помни, согласно СИ основная единица измерения расстояния — метр!

“В предыдущих сериях” мы уже говорили о напряжениях — отношении внутреннего усилия (равного приложенной внешней силе направленной вдоль стержня, т.е. по оси x) к площади поперечного сечения стержня. А всё потому, что толстый стальной прут при прочих равных рвётся при большей нагрузке, чем тонкий, и отношение этих нагрузок — это отношение площадей. 

Ответ на ключевой вопрос: “Когда же разрушится эта конструкция / деталь” может быть получен экспериментально, путем разрушения образцов из одного материала, но с разной площадью поперечного сечения. И если мы продольную силу разрыва разделим на площадь сечения образца, то найдем так называемое разрушающее напряжение.

 Так что напряжение – единичная внутренняя сила, действующая в каждой точке деформированного тела. Подробнее про это можно прочитать в заметке посвященной деформациям в стержне при растяжении..

Тут встаёт вопрос о том, насколько материал “равномерный” (точнее использовать термин “изотропный”), ведь в древесине бывают сучки, в бетоне — участки с щебнем разной прочности. Даже в стали есть дефекты кристаллической решётки, которые снижают её прочность. Пока раскрывать его не буду, но упомянуть считаю нужным. Разрушение зданий, самолётов, ракет и других творений рук человеческих всегда начинается с самого слабого и нагруженного места.

Именно используя площадь мы определяем напряжения от центральных сжимающих / растягивающих нагрузок.

Когда мы говорим о площади некой области, ограниченной произвольной кривой, мы подразумеваем интеграл:

Кратко про интегрирование. Для чайников. Искушенному в мат. анализе читателю стоит пропустить до конца курсива.

Тут я говорю про вычисление определенного интеграла. Окинув взглядом странное сечение, которое нам попалось, мы в первую очередь пытаемся описать его какими-то функциями. Далее мы идём искать таблицу первообразных в поисковик, в которой стараемся найти нашу функцию — часть после знака интеграла и перед dx. Например первообразной линейной функции y=x-8 будет парабола y’=(x^2)/2-8x+C

Если эта часть была f(x), то её первообразная (производная наоборот, которая нужна нам для вычисления интеграла) будет F(x).

Тогда значение находится по этой формуле:

Кроме того: константы (числа) из под интеграла выносятся, а определенный интеграл от a до с можно рассчитать, как сумму двух определенных интегралов от a до b и от b до с

Пример:

Найдём площадь показанного выше сечения в границах x ∈ [-2;8]:

Первая часть(закрашена зелёным):

Вторая часть (оранжевый):

Третья часть (синий):

Общая площадь (минусы тут учитывать не будем, т.к. нас интересует площадь фигуры, а не её положение относительно осей):

Когда мы говорим о площади сложного сечения, состоящего из нескольких простых, мы подразумеваем их сумму:

Вот здесь мы и делим нашу сложную фигуру на несколько менее сложных и определяем их площадь по одному интегралу за раз. После этого складываем полученные площади.

Это важно, потому что очень часто на практике конструкции собирают из типовых элементов. 

Вспоминая старый анекдот, если конструкция собрана из нескольких красных резиновых мячей — инженер достает таблицу характеристик красных резиновых мячей по ГОСТ на красные резиновые мячи и находит нужное значение.

На рисунке 3 приведены сечения из уголков, тавров (от буквы Т) и двутавров (в английском название понятнее — I beam) — одних из наиболее распространенных типов сечений (хотя есть еще труба и прямоугольный профиль).

На этом разговор о площади сечения, пожалуй, можно заканчивать. 

Подводя итог — площадь это наиболее простая в вычислении и наиболее распространённая в расчётах характеристика сечения. Хотя с позиции математики вычисление площади в общем смысле предполагает интегрирование, на практике для поперечных сечений типовых строительных конструкций ее, с небольшой погрешностью, может найти любой школьник, используя простейшие формулы. При этом почти всегда присутствует и второй вариант — посмотреть в многочисленных сортаментах и таблицах.

На очереди чуть более длинные статьи, проливающие свет на суть, вычисление и использование таких занимательных штук, как статические моменты, моменты и радиусы инерции, моменты сопротивления. А понимание всего этого арсенала понятий обозначающихся умными терминами позволит нам расщеплять недругов на атомы определять нормальные и касательные напряжения для любых состояний рассматриваемого тела, вплоть до случаев сложного кручения в нескольких плоскостях.

Не переключайтесь!

Автор: Марк Ершов
Редактор, факт-чекер: Кирилл Овчинников

Список использованных источников

1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович, Денищева Л.О., Звавич Л.И. и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М., 2009. — 264 с. : ил.