В прошлой части мы говорили о том, что если мы мысленно разрежем деталь, исходя из сил приложенных к сечению сможем вычислить с какой силой деталь сопротивляется внешним воздействиям. Но любая конструкция – это не одно сечение, а сумма их бесконечного количества. Мы можем мысленно разделить деталь на бесконечно малые участки, для каждого из которых мы можем выяснить силу сопротивления материала. Однако бесконечный набор уравнений неудобно анализировать. Зато можно совместить значения в каждой конкретной точке и получить график, на котором будут видны значения сил сопротивления материала в каждой точке детали. Название используемое для такого графика: эпюра продольных сил. Или поперечных. И сегодня мы научимся их строить.

Эпюра продольных сил и напряжений при воздействии на образец только сил.

Загадка: брусок в две стороны тянут с силой в 1 Н. Какая сила сопротивления должна возникнуть в бруске, чтобы противодействовать внешнему воздействию?

Подсказка: одной стороной брусок закреплён к стене и его тянут с силой 1 Н. Изменилось ли сопротивление материала по сравнению с тем случаем, когда его тянули в разные стороны?

Сопромат. Эпюра продольных сил. И напряжений

Ответ: и в том и в друг случае сила сопротивления материала была равна 1 Н, так как действие равно противодействию. 

Сопромат. Эпюра продольных сил. И напряжений

Если условный брусок жестко закреплён к стене в невесомом пространстве (т.е. считаем его вес равным нулю), и с одной из сторон его пытаются растянуть (или сжать, не принципиально) с некоторой силой, каждое сечение будет противодействовать деформации ровно с такой же силой.

Соответственно, эпюра продольных сил N по стержню (или, как правильно говорить в сопромате, эпюра) будет выглядеть вот так:

Сопромат. Эпюра продольных сил. И напряжений

Однако, это ничего нам не говорит о напряжениях возникающих в теле. Для того нам необходимо разделить продольные силы на площадь сечения F и мы получим напряжения, которые возникают в каждой из точек сечения.

Сопромат. Эпюра продольных сил. И напряжений
Эпюра нормальных напряжений по виду похожа на эпюру продольных сил. Однако «высоту» необходимо будет разделить на площадь поперечного сечения

Аналогичная ситуация справедлива и для поперечных сил. Возьмем брусок. Жестко закрепим его к стене и надавим на него с другого конца:

Сечение стержня. Поперечная сила.

Тогда в каждом сечении бруска будет возникать сила противодействия равная силе, которую мы приложили.

Сечение стержня. Поперечная сила. Касательное напряжение

Эпюра поперечных сил в сечении же будет выглядеть вот так:

Сопромат. Эпюра продольных сил. И напряжений

При этом рассчитать касательные напряжения уже сложнее. Самый простой пример: распределение нагрузки по невесомому прямоугольному сечению. Тогда касательные напряжения будут равны в каждой точке сечения поперечной силе разделенной на его ширину. В более сложных случаях (в том числе при расчете массивного стержня) для того, чтобы вычислить касательные напряжения, необходимо будет учитывать геометрические характеристики сечения.

Равномерно распределенные нагрузки

Рассмотренный выше пример может показаться нереалистичным: что это за материал, на который не действуют силы гравитации? Ведь расчёт конструкций тем и сложен, что конструкции должны выдерживать некоторый вес и сами каким-то весом обладают.

Дело в том, что вес по материалу распределен равномерно. Т.е. мы не можем просто приложить в центр масс силу тяжести конструкции. Каждое сечение обладает своим весом, а сумма веса всех сечений и даёт в общий вес конструкции.

В таком случае нам гораздо проще разделить вес на длину конструкции и получить нагрузку на единицу длины конструкции. 

Логично предположить, что тогда на каждое следующее сечение будет действовать нагрузка большая, нежели на предыдущее. Для поперечных нагрузок (т.е. когда балка закреплена одним концом горизонтально и на неё действует равномерно распределенная сила тяжести) это проще визуализировать:

Жестко закрепленная балка. Равномерно распределенная нагрузка. Равномерно нагруженная балка. Поперечная сила. Касательное напряжение

Для продольных нагрузок равномерно-распределенную нагрузку визуализировать не удастся, однако принцип будет абсолютно таким-же:

Эпюра продольной силы под равномерно распределенной нагрузкой. Эпюра нормального напряжения под равномерно распределенной нагрузкой. Равномерно распределенная нагрузка.
Эпюра продольной силы и нормального напряжения под равномерно распределенной нагрузкой

На то сечение, которое мы закрепили на потолке, как не сложно догадаться, действует вся сила тяжести бруска. В формуле сила тяжести найдена как произведение площади F на длину стержня l и силу тяжести p(плотность материала) × g(ускорение свободного падения). Интуитивно понятно, что на каждое сечение ниже будет воздействовать вес стержня снизу. Самый простой способ: это вычесть из общего веса стержня вес стержня сверху. Для этого достаточно проинтегрировать удельный вес по расстоянию (dx) до нужного нам сечения.

Nx=Fρgl-∫ρgdx

В данном случае (стержень имеет одинаковые диаметр и плотность) на всей длине, достаточно перемножить dx на Fp.

Nx=Fρgl-∫ρgdx=Fρgl-Fρgx

Т.е. что мы можем заметить: нагрузка – это производная от эпюры продольных (или поперечных) сил. И наоборот, напряжение – первообразная от нагрузки. Это основное, что вы должны понять начиная изучать сопромат.

Эпюра продольных сил в сложных случаях

Существуют ситуации при которых нагрузка распределяется неравномерно. В таком случае нам необходимо знать закон распределения (т.е. формулу, согласно которой по длине распределена нагрузка). Нагрузка на сечение в точке x0+dx будет равна интегралу f(x) по dx. Т.е. необходимо будет найти интеграл от функции определенный от начала конструкции до необходимой нам точки (визуализирую на поперечных нагрузках, так как на продольных продемонстрировать распределенную нагрузку не получится):

Qy=∫f(x)qydx

Заделка. Жестко закрепленная балка. Распределенная нагрузка. Неравномерно распределенная нагрузка. Касательное напряжение. Поперечная сила

Если нам необходимо вычислить нагрузку на конструкцию при наличии и распределенной нагрузки и приложенных сил, достаточно просто сложить два этих графика вместе:

Сопромат. Эпюра продольных сил. И напряжений

Брусок закреплен вертикально, крепится за “потолок”. Он имеет определенный вес, который можно получить перемножив плотность материала ρ, ускорение свободного падения g, площадь сечения F и длину стержня l. К его середине вертикально вниз приложена сила в 2P1.

X0-gρFl-2P1=0

Соответственно, суммарно на “начало” стержня воздействует сумма приложенных сил и веса бруска:

X0=gρFl+2P1

Соответственно до середины бруска на каждую единицу длины напряжение ослабевает на вес отсеченного сверху бруска:

X1(-)=X0-gρFdX

В середине бруска внутреннее усилие ослабевает на 2P_1:

X1(+)=X0-gρFdX-2P1

Примечание: X1(-) Продольная сила в точке перед местом приложения силы в точке X1, X1(+) продольная сила после приложения силы в точке X1. Т.е. геометрически точка X1(-) находится на пренебрежительно малую величину раньше приложенной силы.

После этого усилия в стержне продолжают ослабевать на размер веса отсеченного бруска:

X2=X1(+)-gρFdX

Аналогично считаются и поперечные силы. 

В следующих сериях

Теперь мы умеем считать и визуализировать продольные и поперечные силы и нормальные и касательные напряжения. Однако это ничего не говорит о том, насколько деформируется материал, разрушится или сохранит свою прочность под нагрузкой. Об этом мы поговорим в следующей статье.

Автор: Овчинников К.А.
Фактчекер и редактор: Сабуров Д.А.

References
  1. Лекции по сопротивлению материалов в СПбПУ им. Петра Великого
  2. Лекции по сопротивлению материалов в БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Устинова

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *