В общей физике и теоретической механике мы предполагали, что тело абсолютно твердое. То есть расстояние между любыми точками равно вне зависимости от ситуации. Однако в самом фундаменте курса сопромата мы уже выяснили, что материалы выдерживают внешние (и внутренние, но об этом позже) воздействия именно за счет изменения расстояния между молекулами: химические связи стремятся вернуть самое оптимальное для них расстояние. Это стремление материала к занятию определенной формы называется напряжением, и в прошлой статье мы поговорили о том, как его искать. Пора нам научиться численно оценивать, чему равна деформация продольного растяжения.

Деформация продольного растяжения

Как мы уже говорили, то, с какой силой атомы конкретного материала будут притягиваться друг к другу зависит от расстояния между атомами. Вопрос силы связи с точки зрения химии мы рассматривать не будем и возьмём силы противодействия внешним усилиям как данность, экспериментальные данные которые мы будем использовать при расчётах, а не пытаться их интерпретировать.

Если мы измерим силу взаимодействия между атомами в зависимости от расстояния между ними, то мы получим следующую картину:

Как меняется сила притяжения и отталкивания между атомами при разном межатомном расстоянии. "Почему мы не проваливаемся сквозь пол?"
Как меняется сила притяжения и отталкивания между атомами при разном межатомном расстоянии.

По графику видно, что есть достаточно существенный отрезок, на котором сила изменяется линейно. Более того, забегая вперёд скажу также что именно этот участок для нас наиболее интересен, так как на нем не происходят неупругие (т.е. когда после снижения нагрузки материал не возвращается в первоначальное положение) деформации. И очень велик соблазн попытаться найти формулу, по которой изменяется сила в зависимости от изменения расстояния.

И именно это и сделал Гук, обобщив интуитивное предположение «это должна описывать какая-то формула», имеющуюся теорию и экспериментальные данные.

Продольные деформации: закон Гука

Итак, действие равно противодействию, а противодействие зависит от изменения формы. А как вычислить силу сопротивления материала имея только измененный размер? Или, наоборот, увидев насколько велика будет деформация продольного растяжения, сказать через сколько он порвётся?

Разумеется, провести эксперимент! Возьмём цилиндрический предмет из некоторого материала (условная сталь). С одной стороны его закрепим, а с другой приложим усилие. Разумеется, перед проведением эксперимента, мы измерим изначальную длину образца. Затем посмотрим, насколько образец увеличится в длину. Или, как это принято обозначать в сопромате, «измерим длину образца под нагрузкой».

Обычно этих данных достаточно, но могут быть особые случаи, когда нам необходимо знать и то, как изменяется брусок в диаметре, поэтому эти данные мы тоже померим.

деформация продольного растяжения
Деформация продольного растяжения

Соответственно, под нагрузкой наш цилиндр становится на какие-то доли миллиметра длиннее (dl). И отношение этого приращения к изначальной длине (l) называется относительной продольной деформацией (общается ε, эпсилон): ε=dl/l. Иными словами, если умножить длину бруска до нагрузки на относительную продольную деформацию (ε), мы получим его длину под нагрузкой.

Для чего это нужно? 

Представим себе железную дорогу Санкт-Петербург–Москва. Это 634 км. по прямой. И вот случается перепад температур, зима сменилась летом, сталь расширилась. И, казалось бы, что эта пара миллиметров на несколько километров сделают. А потом считаем все как следует и оказывается, что увеличение длины в сумме составляет около 100 метров. И все, вокзал переезжает два раза в год на олимпийскую дистанцию. Разумеется, рельсы закреплены жёстко и двигаться никуда не будут. Однако очевидно, что такие нагрузки (представьте равномерно распределенную между Санкт-Петербургом и Москвой нагрузку и какое суммарное продольное напряжение получится) не способствуют долговечности конструкций. 

Температурное расширение мы будем разбирать позже, но от того, внутренние ли силы или внешние силы воздействуют на материал, суть разговора не меняется. Просто если мы сейчас разбираем случаи, когда мы приложили усилия к бруску и начали менять в нем расстояния между молекулами, то сейчас, наоборот, идеальное расстояние между молекулами изменилось, и оно оказывает влияние на внешний мир. 

История, между прочим, абсолютно реальная. И для решения этой проблемы между рельсами могут оставлять небольшой зазор, чтобы при температурных перепадах рельсы не находились под нагрузкой и не теряли микроструктуру. 

Зазор между рельсами для компенсации температурного расширения.
Зазор между рельсами для компенсации температурных продольных деформаций.

Гораздо очевиднее будет пример монтажа конструкций: пока все детали изделия находятся на бумаге, они взаимодействуют правильно. Однако когда на объект начинает действовать сила тяжести, из-за расстяжения отверстие и заклепка могут оказаться на совершенно разных высотах. И несмотря на то, что нагрузки конструкция выдерживает, за счет изменения ее габаритов смонтировать ее становится на порядок сложнее. Если изменения не учитывать при проектировании, будет увеличена трудоемкость монтажа.

Точно также можно найти относительную поперечную (в ширину) деформацию: εп=Δd/d

Отношение продольной и поперечной деформации обычно одинаково под любой нагрузкой и оно уже давно экспериментально установлено для каждого конкретного материала.  В справочниках искать коэффициент Пуассона:

μ=|εп/ε|

Остается только выяснить, насколько удлинится конкретный стержень при определенной нагрузке.

И, как ни странно, все необходимое для таких вычислений у нас уже есть. А именно, у нас есть некоторая нагрузка, длина и ширина стержня. Логично предположить, что чем больше сила (P), тем больше растяжение. Также логично предположить, что чем больше длина (l), тем легче растягивать: вспомните, ведь более длинную пружину проще растянуть, нежели короткую. В то же время, чем больше площадь, тем сложнее нечто растягивать: чем больше площадь, тем больше в ней связей между атомами. Помимо прочего для связей каждого материала должна быть своя константа, которая будет обозначать силу сопротивления на единицу материала. Называется она модулем Юнга (E) и для большинства материалов уже найдена.

Итого, изменение длины (dl) стержня длиной l, площадью сечения F, с модулем Юнга этого материала E под воздействием силы P:

dl=Nl/EF

Это выражение называется Законом Гука.

Связь нагрузки и напряжений. Нормальное и касательное напряжения. Нормальное напряжение. Касательное напряжение. Анализ методом сечений.

На практике для расчетов используется напряжение, которое можно из этой формулы вывести. σ=N/F. следовательно, dl=σl/E. ε=dl/l. Следовательно:

σ=εE

Деформация продольного растяжения под нагрузкой

Какая техническая наука возможна без экспериментов? Я лично таких не припомню. 

Попробуем экспериментально проверить, насколько будет удлиняться образец под нагрузкой.

Так как оборудования у меня под рукой нет, я предоставлю перерисованный график без численных значений оставшийся у меня с лабораторных работ в Санкт-Петербургском Политехническом Университете.

Жёстко закрепляем стальной стержень и пытаемся его растянуть:

Как меняется деформация продольного растяжения стержня при увеличении нагрузки. Деформация продольного растяжения (Δl) стержня под воздействием силы P.
Деформация продольного растяжения (Δl) стержня под воздействием силы P.

До определенной точки график действительно линеен и деформация продольного растяжения полностью отвечает теоретическим значениям. Однако в точке А график «скругляется» и значения начинают отличаться от полученных через формулу закона Гука. При этом, если нагрузку убрать до того, как удлинение достигнет точки B, образец вернётся в первоначальное состояние. Однако точка B (предел упругости) является граничной: все что будет после неё – это неупругие, пластичные деформации, которые для конструкций недопустимым.

Затем при увеличении нагрузки происходит резкий скачок удлинения. На графике это практически плоская линия BC, а называется площадкой текучести (напряжение же возникающее на площадке: предел текучести).

Если мы снимем нагрузку, то образец будет иметь не первоначальную длину, а изменится на определённую величину (её можно приблизительно найти проведя из нашей точки на графике линию параллельную линии AB до нуля нагрузки).

Затем на промежутке упрочнения CD деформация продольного растяжения требует увеличения усилия: под нагрузкой кристалическая решётка перестроилась, избавилась от микродефектов, повысилась прочность стержня. 

Затем (на промежутке DE) нагрузку необходимо снижать, так как из-за уменьшения площади сечения образец в состоянии выдерживать все меньшие усилия.

Однако, по мере удлинения стержня, он, со временем, всё-таки порвётся.

График напряжения в зависимости от относительного продольного удлинения можно увидеть ниже:

Как меняется деформация продольного растяжения стержня при увеличении нормального напряжения. Деформация продольного растяжения (Δl) при изменении напряжения σ =P/F.
Деформация продольного растяжения (Δl) при изменении напряжения σ =P/F.

Резюмируем. Деформация продольного растяжения под нагрузкой делится на основных этапов:

  1. Упругое пропорциональное растяжение OA (σ_у)
  2. Упругое непропорциональное растяжение AB (или предел упругости σ_п.у.)
  3. Скачок растяжения BC (напряжение – предел текучести (σ_т), отрезок – площадка текучести) 
  4. Упрочнение CD (напряжение максимальное временное в точке D σ_в)
  5. Снижение несущей способности из-за уменьшения поперечного сечения DE (разрыв в точке E (σ_р))

Изменение длины под воздействием внешних сил

Возвращаемся от стержня конкретного к стержню абстрактному и попробуем рассчитать его удлинение при разных приложенных нагрузках.

Самый простой способ мы, по сути, уже разобрали. К некоторому невесомому стержню диаметра F и длины l жёстко закрепленному одним концом приложили силу P.  Из таблицы мы знаем Модуль Юнга E. 

Для удобства мы строим эпюру, из которой становится понятно, что продольные напряжения в каждом из сечений равны, а значит и изменяться длина будет достаточно равномерно:

Эпюра продольной силы в невесомом стержне под воздействием силы. Деформация продольного растяжения невесомого стержня под воздействием внешней силы.

По сути, теперь нам остаётся только подставить в закон Гука все значения и получить удлинение стержня:

dl=Pl/EF

При необходимости мы также можем найти и изменение диаметра, так как коэффициент Пуассона (μ=|ε_п/ε|) никто у нас не забирал из справочной литературы. Необходимо только рассчитать относительное продольное удлинение, домножить на константу материала и получить относительное поперечное сужение.

Также возможны ситуации, когда конструкция будет составной и (или) к ней будут приложены разные силы в разных точках. Тогда потребуется точно также построить эпюры и вычислить требуемые значения для каждого участка. 

В случае с распределенными нагрузками ситуация сложнее, но не сильно. 

Эпюра продольной силы в стержне под силой тяжести.
Эпюра продольной силы в стержне под силой тяжести.

Фактически вся проблема сводится к тому, что мы ищем функцию распределения нагрузки, её подставляем в формулу и таким образом получаем функцию распределения удлинения по всему стержню. При необходимости интегрируем и получаем суммарное удлинение стержня.

dl= lNdx/EF

Деформация продольного растяжения стержня при равномерно-распределенной нагрузке. Деформация продольного растяжения стержня под воздействием силы тяжести. Эпюра продольной силы в стержне под силой тяжести.

Опасное напряжение и коэффициент запаса

Ширина и длина у образцов может быть разная, а нам бы хотелось вычислить заранее, достаточно ли прочный для данной нагрузки у нас стержень. 

Экспериментально мы уже померили относительные продольные деформации и знаем, при каких значениях материал испытывает упругие деформации, а когда его структура меняется навсегда. Компетентные органы тоже испытания провели и в соответствующей документации уже отсортировали напряжения, которые приняты опасными и их и следует использовать как граничных. 

Вообще, “опасные” напряжения определяются прежде всего нормативной документацией и справочной информацией. И считать их самостоятельно не только не надо, но и нельзя (главные друзья инженера — это не умение считать в уме и идеальная память, а калькулятор и справочник).

Методика расчета мне не известна, но могу предположить, что она учитывает в себе как экспериментальные данные по исследованию материалов (в частности, предел текучести обычно понимается под опасным напряжением), так и статистику по практике эксплуатации (аварии и т.д.).

Примечание: в науках изучающих материалы принято разделение на пластичные и хрупкие материалы. Пластичные одинаково хорошо выдерживают как растяжение, так и сжатие, хрупкие нет. Надо понимать, что разделение довольно условно, так как “степень пластичности”, если можно так назвать соотношение предельных нагрузок перед необратимой деформацией для сжатия и растяжения различается не только для материалов, но и для разных условий. Например сталь, пластичная в нормальных условиях, при низких температурах будет становиться более хрупкой. Среди влияний можно выделить как температуру, так и радиационное излучение, если мы говорим о проектировании конструкций ядерных реакторов, сталкивающихся с большим нейтронным потоком, или космических аппаратов, бомбардируемых космическим излучением.

Для пластичных материалов опасное напряжение примерно равно как на сжатие (σ_оп.сж.), так и на растяжение (σ_оп.рас.). Однако в ряде материалов опасное напряжение для сжатия и разрыва будет разным.

Помимо прочего, предельные нагрузки будут отличаться в зависимости от условий, таких как температура.

Во время проектирования конструкций важны две вещи:

  1. Надежность
  2. Экономичность

Ни у кого нет желания рассчитывать конструкцию «впритирку», так как возможны и брак и нецелевое использование и просто непредвиденные ситуации. Но и материал надо беречь, всё-таки это ваши деньги и труд других людей. 

По этой причине используются коэффициенты запаса прочности (k). Разделив на некоторую величину опасное напряжение можно найти предельно допустимое напряжение в конструкции, которое можно оставлять в материале: 

[σ]=σ/k

Находить коэффициенты необходимо в справочной и нормативной документации.

Нормативная и справочная документация специфична для разных отраслей. Например, в строительстве искать значения опасных напряжений следует в СП, а коэффициенты запаса прочности в СНиП-ах.

Автор: Овчинников К.А.
Фактчекер и редактор: Сабуров Д.А.

References
  1. Лекции по сопротивлению материалов в СПбПУ им. Петра Великого
  2. Лекции по сопротивлению материалов в БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Устинова

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *