Любые инженерные вычисления так или иначе связаны с так называемым сопроматом. Это страшное слово, виновник многих нервных срывов среди студентов, подразумевает под собой дисциплину отвечающую на простой вопрос «сломается ли конструкция под определённой нагрузкой?». И эта серия заметок будет рассказывать о том, как это вычислить. В первой части мы раскроем самый важный инструмент анализа, который использует сопромат: метод сечений.

Довольно очевидно, что когда на некоторое твердое тело (мы предполагаем, что конструкции не представляют из поролон) не действуют никакие силы, в твёрдом состоянии его удерживает сила взаимодействия частиц.

В случае если мы на тело как-то повоздействуем, например попытаемся сжать или растянуть, расстояние между атомами изменится. И силы электростатического взаимодействия будут стремиться к тому, чтобы вернуть предыдущее расстояние.

Метод сечений

Что мы делали в математике, когда хотели как-то проанализировать какую-то функцию? Мы делили её на маленькие части. Аналогичная процедура и начинает курс сопромата. Для того, чтобы понять, как именно ведёт себя конструкция, нужно выяснить, как именно ведёт себя каждая её часть.

Поперечное сечение стержня. Сопромат.

Как мы уже говорили, под воздействием извне между атомами материала появляются силы, которые ему сопротивляются. И если мы мысленно отсечем какую-то часть детали и заменим её на некоторые силы распределенные по площади нагрузки, то составим уравнение, по которому мы сможем вычислить значение сил возникающих в конкретном сечении. «Метод сечений» – так называет этот способ теоретического исследования материала.

Сечение стержня. Сумма всех векторов нагрузки называется равнодействующей R. А единичная результирующая сила воздействующая на некоторую площадку обозначается как ΔR
Сечение стержня. Сумма всех векторов нагрузки называется равнодействующей R. А единичная результирующая сила воздействующая на некоторую площадку обозначается как ΔR

Ну а воздействий на сечение два вида: силы (P) и моменты (M). И все они раскладываются на части по трём осям декартового пространства.

Метод сечений: исследование продольных и поперечных сил в сечении, крутящего и изгибающих моментов. На любое сечение воздействуют силы и моменты. По x продольная сила, по x и z поперечная сила. По x момент работающий на кручение, по x и z момент работающий на изгиб (изгибающий момент).
Метод сечений: исследование продольных и поперечных сил в сечении, крутящего и изгибающих моментов.
На любое сечение воздействуют силы и моменты. По x продольная сила, по x и z поперечная сила. По x момент работающий на кручение, по x и z момент работающий на изгиб (изгибающий момент).

Ось X обычно направляется вдоль некоторой детали, свойства которой мы хотим рассчитать. А сила сопротивления материала при воздействии вдоль этой оси, соответственно, называется продольной силой и обозначается буквой N.

Воздействия сверху и сбоку называются поперечными силами и обозначается буквой Q с соответствующим индексом z или y (z — сбоку, y — по вертикали).

Моменты все обозначаются буквой M с индексом оси: ось направлена на нас, момент направлен против часовой стрелки.

Соответственно, тело находится в равновесии, если все силы и моменты воздействия на отсеченную часть равны по численному значению и противоположны по направлению силам и моментам возникающих в самом сечении (т.е. силами взаимодействия межатомных связей).

Все это определяется шестью уравнениями: по три (по осям x, y, z) на силы (обозначаются как P) и моменты (M).

Уравнение равновесия для отсеченной части. Метод сечений. Продольная и поперечные нагрузки. Продольная нагрузка. Поперечные нагрузки. Кручение и изгиб. Кручение. Изгиб.
Уравнение равновесия для отсеченной части

Касательные и нормальные напряжения 

Хорошо, мы можем посчитать, какие силы и моменты прилагаются к некоторой площади материала. Но размеры и формы деталей могут существенно отличаться друг от друга. Как тогда мы сможем их друг с другом сравнивать? Напрашивается решение: поделить сечение на бесконечно-малые площадки и вычислить силу на единицу площади, которую будем называть напряжением. И можем сравнивать напряжения возникающие в образцах абсолютно любой формы, любых размеров и любой приложенной нагрузке.

Для простоты будем считать что на сечение воздействуют только силы, а моменты введём позже.

Прим. Это нужно для того, чтобы затем мы могли экспериментально выяснить, при каком воздействии на единицу материала он будет разрушаться. Собственно, прочность материалов и характеризуют предельным напряжением, которое они способны выдержать. Тогда можно будет вычислить, разрушится деталь из данного материала или нет. 

Напряжения, так же как и силы,  можно разложить по трём осям. Продольное напряжение (по x) обозначается σ (сигма), а поперечные (по y, z) τ (тау) с соответствующим индексом.

Связь нагрузки и напряжений. Нормальное и касательное напряжения. Нормальное напряжение. Касательное напряжение. Анализ методом сечений.

Мы разобрались с тем, как именно распределяются продольные и поперечные нагрузки, а также нормальные и касательные напряжения в сечениях материалов. Однако в реальных конструкциях сечений бесконечное множество. И в следующей части мы поговорим о том, как нагрузки и напряжения распределяются по всей конструкции.



В следующих сериях

Мы можем вычислить с какой силой деталь сопротивляется внешним воздействиям в каждом конкретном сечении. Но любая конструкция – это не одно сечение, а сумма их бесконечного количества. Мы можем мысленно разделить деталь на бесконечно малые участки, для каждого из которых мы можем выяснить силу сопротивления материала. Однако бесконечный набор уравнений неудобно анализировать. В следующей части мы сможем анализировать продольные и поперечные силы во всей детали.

Автор: Овчинников К.А.
Фактчекер и редактор: Сабуров Д.А.

References
  1. Лекции по сопротивлению материалов в СПбПУ им. Петра Великого
  2. Лекции по сопротивлению материалов в БГТУ "ВОЕНМЕХ" им. Устинова

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *