Мы уже говорили о том, как вычислять нормальные напряжения. Однако мы не учитывали то, что материал может не только растягиваться и сжиматься, но и изгибаться. Интуиция подсказывает, что если мы что-то согнем слишком сильно, оно либо навсегда останется согнутым (т.е. произойдёт неупругая деформация), либо вообще сломается. Но как численно оценить, какие именно силы и напряжения в материале может создать изгибающий момент? В этой статье мы поговорим о том, что такое гипотеза плоских сечений, и как момент сопротивления изгибу помогает рассчитать прочность балки.

Что такое изгибающий момент

В первой части цикла мы уже выяснили, что любые воздействия на материал и все виды сопротивления можно разложить по осям x, y, z на силы и моменты и получить шесть уравнений равновесия. 

Тем не менее, если про силы мы уже поговорили достаточно подробно, то про моменты пока умолчали.

Момент – это количество «кручения». Для материальной точки он вычисляется произведением силы на плечо:

Проводим из точки перпендикулярно силе линию, её длину умножаем на силу. Это и будет момент кручения данной точки.

Помимо прочего, момент может задаваться парой параллельных, но противоположных по направлению сил. Тогда равнодействующая сил не изменится, а тело будет стремиться к изгибу.

Эпюра моментов. Как распределяется изгибающий момент

Мы закрепили стержень в невесомости одной стороной. Взяли его за конец и начали крутить. Как следствие, в сечении около места кручения возникает противоположный момент, который сопротивляется изгибу.

Если мы перейдем на следующее, находящееся дальше от места приложения момента, сечение, окажется, что в каждом следующем сечении возникает точно такой же момент сопротивления. Следовательно, от места закрепления стержня до конца балки будет действовать момент Mz=m. А эпюра момента (иными словами, график) будет выглядит вот так:

Гипотеза плоских сечений

Мы выяснили, что такое изгибающий момент. Но что такое изгиб, и какие изменения происходят в образце под его воздействием? Для этого мысленно разделим образец сеткой сечений и посмотрим, как будут меняться расстояния между узлами (местами пересечения продольных и поперечных сечений):

Смотря на картинку, можно сделать определенные выводы. Прямые поперечных сечений остались все такими же прямыми и не изменились в высоту, но перестали быть параллельными. Теперь они сходятся в определенную точку.

Продольные сечения же приняли форму дуги некоторой окружности. Называть их мы будем слоями. Ближе к верху слои сжались и стали короче, чем были изначально. Снизу же наоборот, растянулись и увеличились в длину. И где-то посредине (где именно, нам еще предстоит выяснить) располагается слой, который пусть и изогнулся, но не растянулся и не сжался. Он называется нейтральным.

Данная модель укоренилась в сопромате под двумя именами. Первое имя она получила от создателя, Якоба Бернулли. А второе от своего содержания. Согласно допущению, на котором она основана, поперечные сечения до и после изгиба остаются плоскими. Отсюда и второе имя: гипотеза плоских сечений.
Еще одно допущение — это то, что эти сечения не деформируются. На самом деле, если вспомнить прошлый раздел, мы говорили, что по мере растяжения или сжатия стержня его ширина уменьшается или увеличивается. Однако влияние этого фактора в рамках дисциплины “сопротивление материалов” не учитывается, так как не может серьезно повлиять на точность вычислений.

Таким образом, единственные напряжения, которые возникают в плоском изгибе — это нормальные напряжения, которые изменяются по высоте сечения.

В прошлой части мы уже говорили, как именно вычислить растягивающие или сжимающие усилия в стержне. Вспомним, что относительная продольная деформация (ε=dl/l) определяется Законом Гука и равна нормальному напряжению деленному на модуль Юнга:

ε=σ/E

Модули Юнга для материалов уже давно вычислены и находятся в справочниках. Для нахождения нормальных напряжений остается только выяснить, какая продольная относительная деформация происходит под воздействием изгиба материала в каждом из слоев.

Вспомним немного геометрию и тригонометрию. В случае, если нам необходимо найти очень малую длину части окружности, она численно будет почти равна произведению синуса угла на радиус:

При этом, для малых углов синус численно равен углу (в радианах, т.е. равен длине дуги окружности с радиусом 1, на которую угол опирается).

Таким образом длина слоя находящегося на y дальше от центра окружности чем нейтральный слой будет равна произведению угла dφ и радиуса этого слоя (R+y):

dx₁=(R+y)*dφ

В это время длина нейтрального слоя равна произведению угла dφ на радиус R:

dx₀=R*dφ

А так как нейтральный слой не деформировался в длину, удлинение слоя будет равно его с нейтральным слоем разности:

dl₁=dx₁-dx₀=(R+y)*dφ — R*dφ=R*dφ+y*dφ-R*dφ=y*dφ

А относительная продольная деформация будет равна отношению удлинения нашего слоя на нейтральный:

ε₁=y*dφ/R*dφ=y/R

Таким образом, мы получили некоторое уточнение в формуле напряжения:

σ=εE=Ey/R

Примечание: прямо отсюда следует, что чем тоньше образец, тем меньше будет при изгибе возникать нормальных напряжений. За счет этого принципа и не разрушается оптоволокно. Стекло окна при небольшом изгибе разрушится. Волокна в оптоволокне же настолько тонкие, что при куда более существенных изгибах сохраняют свою структуру.Для желающих понастальгировать, старый выпуск Галилео про оптоволокно.

Теперь для нахождения нормальных напряжений нам нужно либо найти радиус изгиба (или радиус кривизны) стержня и расположение нейтрального слоя, либо избавиться от них в формуле. Искать сложно, поэтому попробуем устранить кривизну.

Мы помним, что в нашем сечении сейчас действует только момент. Следовательно, не должно возникать никаких продольных сил:

N= ∑σdF=∫σdF=∫E*dy/RdF=E/R ∫ydF=0

Модуль Юнга не равен нулю, а радиус будет равен бесконечности только если изгибающий момент отсутствует. Следовательно нулю равен интеграл ∫ ydF. По-другому он называется статическим моментом инерции сечения по оси x и обозначается буквой S с индексом z.

Для того, чтобы найти координату y расположения геометрического центра сечения необходимо разделить статический момент на площадь сечения:

y_c=S_z/F

Статический момент и расположение нейтрального слоя для простейших фигур (параллелепипеда, круга, треугольника) довольно просто найти самостоятельно. Однако для более сложных фигур гораздо целесообразнее использовать сортаменты: справочники в которых собраны геометрические характеристики сечений.

M_z=∑y*σdF=∫y*σdF=∫y²*E/RdF=E/R∫y²dF

Интеграл ∫y²dF— это осевой момент инерции тела, который обозначается буквой I.

Таким образом, момент внутренних будет равен: 

M_z=IE/R

И из этого мы уже сможем выразить радиус:

1/R=M_z/IE

Подставляем все в формулу напряжения нейтрального слоя и навсегда забываем, что радиус когда-то использовался в вычислениях:

σ=Ey/R=EyM_z/IE=EyM_z/IE=yM_z/I

Момент инерции простейших фигур также можно рассчитать вручную, но для более сложных форм гораздо целесообразнее использовать сортамент.

Гипотеза плоских сечений дает возможность вычислить максимальное нормальное напряжение. Оно будет возникать на максимальном удалении от нейтрального слоя:

σ_max=y_maxM_z/I

Момент сопротивления изгибу

Соотношение I/y_max характеризует то, как сильно сечение будет сопротивляться изгибу под действием момента. Его называют «момент сопротивления изгибу», а обозначается он как W_z. Эту величину также можно найти в сортаменте и, зная ее, максимальное напряжение в сечении найти можно в одно действие: σ_max=M_z/W_z

То, что максимальные напряжения сконцентрированы на концах сечения, позволяет сэкономить на материале. Наибольшая ширина сечения нужна только на краях сечения балки, а в середине можно обойтись шириной похуже. Так мы задействуем меньше металла, а конструкция выдержит большую нагрузку. 

Классический пример такой конструкции – это двутавр, на котором ближе к концам (где нормальные напряжения максимальны) ширина достаточно существенна, а в середине на порядок меньше:

Чаще всего самые большие напряжения от изгиба — это именно нормальные. И для быстрого поверхностного расчета достаточно подобрать сечение под них. То есть разделить приложенный изгибающий момент на момент сопротивления изгибу. Однако нормальными напряжениями расчет не заканчивается, и для того, чтобы быть точно уверенными в том, что сечение выдержит нагрузки, необходимо также учесть и касательные напряжения. И этим мы займемся в следующих частях.