В прошлый раз мы поговорили о такой величине, как статические моменты. Теперь можем двигаться дальше: сегодня на повестке моменты инерции. 

Внимательный читатель уже может возмутиться:
 “И зачем мы изучаем эти моменты? Какой в этом прок?
Причём же тут инерция, если сопромат — по сути статика?»

На первый вопрос у меня есть два ответа — краткий и не очень. Пока ограничусь кратким:

Статические моменты и моменты инерции  широко используются для определения нормальных и касательных напряжений, определении прогибов и деформаций конструкций. Читая о том, как все это вычислить,  вы будете сталкиваться с геометрическими характеристиками постоянно. Поэтому лучше сразу понимать, о чем идёт речь, а, при необходимости, подсматривать тут.

В изгибаемом элементе от момента сил возникают напряжения, для определения которых нам и нужен момент инерции (хотя и опосредованно. Впрочем, если вы читали статью про моменты, то это уже знаете). При этом сам элемент деформируется, и величина этих деформаций (прогибов) также определяется с помощью момента инерции. 

Для ответа на второй вопрос перейдем уже к моментам инерции.

Что такое момент инерции

Суть и смысл моментов инерции в общем случае походит на статические моменты, однако корни нужно искать в описании вращения тела. Для вращательного движения одного только значения массы тела недостаточно, требуется еще знать распределение этой массы в теле. Рассмотрим вращающееся тело, как совокупность точек с предельно малыми размером и массой, которые находятся на расстояниях Ri (от нуля до R):

Тут видно, что также, как в формуле кинетической энергии при линейном движении мера инертности — масса, при вращательном движении мера инертности — момент инерции. Впрочем, я немного забегаю вперёд.

Угловая скорость вращающегося тела — угол поворота, пройденный за единицу времени

Тут начальный угол поворота φ₀ может быть равен нулю, если мы рассматриваем начало движения. 

Линейная скорость тела:

Ускорение вращающегося тела (а нас интересует нормальное) тогда:

Я не буду затрагивать динамику вращающегося тела, и расскажу только о жизненно необходимом.

Сила (которая по второму закону Ньютона — произведение массы на ускорение):

и момент:

И вот тут вспомним уже третий закон Ньютона — действию всегда есть равное и противоположное противодействие, а значит действию найденного нами момента будет сопротивляться — момент инерции.

Вспомним также, что, как и со статическими моментами, на разные точки тела, удаленные от оси вращения на разные расстояния будет действовать разный момент, а общий момент можно получить их просуммировав:

При этом значения вращающего момента и момента инерции будут равны, а сами моменты направлены в противоположные стороны. При постоянной угловой скорости вращения, например w = 1, основными величинами, характеризующими вращающий момент или момент инерции будут масса материальных точек, составляющих тело, и расстояния от этих точек до оси вращения. Но, как я уже показал, рассказывая про статические моменты, массу точек для изотропных (в данном случае имеющих одинаковую плотность) объектов можно выносить за скобки и рассматривать исключительно геометрию. Формула момента инерции примет следующий вид:

Почему I_р? Потому что мы с вами оперировали радиусом и углом поворота (в формуле угловой скорости) — т.е. использовали полярную систему отсчета (что и демонстрирует индекс p).

Таким образом момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении.

Как найти момент инерции

Чтобы немного упростить себе операции со всеми этими величинами перейдем к родной и понятной  системе отсчета: перпендикулярным осям X и Y. Возьмем случайное сечение стержня и рассмотрим интегралы, как мы уже делали со статическими моментами:

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третий — центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Теперь рассмотрим случай параллельного переноса осей , не вдаваясь глубоко в вычисление интегралов.

Для осей  x₁=x+a, y₁=y+b моменты инерции будут равны: 

Если вы, как и часть прочитавших эту статью перед публикацией, не имеете черного пояса и седьмого дана в интегральных преобразованиях, то:

т.к. 

и 

Тут первый интеграл — Ix1, второй интеграл — Sx1, а третий раскрывается в площадь при нулевом свободном члене.

Надеюсь, понятно, что при параллельном переносе по y изменяется только ось (буква). 

В последнем случае мы рассматриваем перенос по обеим осям сразу.

Где:
Ix — очевидно, момент инерции относительно оси x
Sx — статический момент сечения относительно оси y
F — площадь сечения

А теперь предположим, что некие оси x₁ и y₁  являются центральными, тогда и выражения упрощаются и принимают вид:

Немного проясню обозначение осей:

Центральными называются оси, проходящие через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю.

Главными называются оси, в которых центробежный момент инерции (I_xy) равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

 И теперь можно уже коснуться практики: речь о моментах инерции простых сечений.

Момент инерции прямоугольника

Определим осевые моменты инерции прямоугольника со сторонами b и h относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести. В качестве элементарной площадки dA возьмем полоску шириной b и высотой . Тогда будем иметь:

Не прибегая к вычислениям, замечу, что для момента инерции относительно оси Y изменится только положение сторон b и h. Следовательно:

Момент инерции квадрата

Прямоугольник со сторонами b=h=a. Следовательно:

Момент инерции круга

Тут воспользуемся полярным моментом инерции относительно центра круга. Определим его, как сумму колец с толщиной dp:

Момент инерции кольца

А здесь – явная аналогия с моментом инерции круга:

Как мы видим, момент инерции кольца это разность моментов инерции большего и меньшего кругов.

Пример нахождения момента инерции тавра

Найдём осевые моменты инерции тавра (рисунок 5), приведенного на рисунке, относительно центральных осей x_c и y_c.

Рисунок 8. Тавр, положение осей

Так как оси x₁ и x₂ являются центральными осями для простых фигур в виде прямоугольников, для определения момента инерции фигуры относительно оси x_c воспользуемся формулой.

Момент инерции относительно оси y_c получим путем сложения моментов инерции простых фигур относительно этой же оси, так как ось y_c является общей центральной осью для простых фигур и для всей фигуры.

Центробежный момент инерции относительно осей x_c и y_c равен нулю, так как ось инерции y_c является главной осью (осью симметрии фигуры).

Обобщение и подведение итогов

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении. В статике момент инерции применяется в определении прогибов, расчетах конструкций на касательные и нормальные напряжения. Момент инерции также, как и статические моменты, характеризует положение осей относительно сечения элемента. Так у нас появляются:

Центральные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю.

Главные оси, в которых центробежный момент инерции (I_xy) равен нулю, а осевые моменты инерции — максимальны. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

При этом главные и центральные оси могут совпадать!

Список использованных источников

1. Александров А.В. Сопротивление материалов: Учеб. для ВУЗов/ А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; под ред. А.В. Александрова – 3-е изд. испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 560 с.: ил. ISBN 5-06-003732-0
2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов – Учеб. для техн. вузов – 5-е изд. перераб. и дополн. – М.: Высш. шк., 1989 – 624 с. ил.
3. Г.И. Беликов. Геометрические характеристики поперечных сечений стержней. Учебно-практическое пособие. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2015. — 56 с. — ISBN 978-5-98276-752-3

Автор: Марк Ершов
Редактор, факт-чекер: К.А.Овчинников