Бимомент и депланация: что это? - Журнал Стройка века

Доброй всем Стройки! Сегодня вы узнаете, что стоит за такими непонятными словами как депланация и бимомент. Сразу оговоримся, это все слова цензурные 🙂

Депланация

В прошлых частях курса вы чаще всего рассматривали случай, при котором нагрузка на балки проходит через центр изгиба. Эта точка условна и не обязательно находится в самом сечении. Если нагрузка проходит через центр изгиба, то элемент только изгибается, никакого кручения не возникает. Идеальный случай, но мир, к сожалению, не идеален.

Во-первых, как я уже сказал, центр изгиба может находиться вне сечения элемента, например у швеллера. В таком случае не всегда возможно нагрузить элемент так, чтобы кручения не было. Тот же швеллер можно расположить под углом, но и этот угол ограничен заданием на проектирование.

Во-вторых, даже если центр изгиба находится в середине сечения, как у двутавра, сама нагрузка может быть приложена не по середине. Ад перфекциониста в общем (Рис. 1-2).

Бимомент. Швеллер — Рис. 1 Случай неидеального нагружения для швеллера (l, h, b – размеры балки, e – эксцентриситет, q_рез – суммарная нагрузка на балку)

Бимомент. Неравномерная нагрузка — Рис. 2. То же, только в случае двутавра (центр изгиба в центре сечения)

В обоих указанных случаях в сечении элементов возникает кручение, так как нагрузка имеет эксцентриситет относительно центра изгиба. И тут вы можете сказать, что все понятно, это было в прошлых частях. Но есть важный момент, при кручении могут возникнуть не только касательные, но и нормальные напряжения. Более того, есть седьмая степень свободы.

Пока вы не начали говорить, что я несу бред, позвольте объясниться. В классическом сопромате все рассматривается через призму гипотезы плоских сечений, которая гласит, что сечение элемента до и после деформации остается прямым и плоским. Но в действительности сечение может искривляться при нагрузке, при этом разные точки движутся в разные стороны. И вот мы подошли к понятию депланации.

Чтобы представить, что такое депланация, рассмотрим некий жестко заделанный швеллер. Если мы начнем его закручивать моментом М, в нем возникнут известные нам касательные напряжения. Но есть еще кое-что. В крайних точках полок начнут возникать нормальные напряжения. При этом сжатие будет возникать с той стороны сечения, куда крутит момент (Рис 3). Такое явление вы сможете обнаружить, если сложите лист бумаги в швеллер и попробуете закрутить его.

Депланация – это искривление плоского поперечного сечения, вызванное перемещением его точек из плоскости.

Бимомент. Напряжения — Рис. 3. Иллюстрация действия бимомента. (M – крутящий момент, σ – нормальное напряжение от кручения)

Чаще всего явление депланации актуально для конструирования стальных конструкций или легких стальных тонкостенных конструкций. В обоих случаях нормами рекомендуется давать сечению свободно деформироваться, однако такое не всегда возможно. В таком случае в сечении возникают нормальные напряжения. И эти напряжения могут быть очень значительными из-за чего элемент может не выдержать нагрузки. Такое состояние называется стесненное или изгибное кручение.

Депланация возможна не в каждом профиле: в замкнутых профилях, в которые можно вписать круг и в лепестковых сечениях (уголки или тавры) депланация невозможна (Рис. 4)

Недепланируемые профили — Рис. 4. Недепланируемые сечения (1 – замкнутый профиль, 2 – уголок, 3 – составное сечение из 4 лепестков, 4 — тавр)

Так как стесненное кручение является актуальной проблемой для металлических конструкций в СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» приводится следующая формула для проверки прочности сечения при изгибе.

\frac{M_x}{I_xR_yγ_c}±\frac{M_y}{I_yR_yγ_c}±\frac{B_ω}{I_ωR_yγ_c}≤1

С первыми двумя слагаемыми все понятно, это нормальные напряжения от изгибающих моментов в двух плоскостях. Но вот что за третье слагаемое такое не понятно. Откуда взялась буква B, что за греческая омега, которая стоит в числителе и в индексе при моменте инерции. К чему это все?

Вот тут мы и подошли к явлению бимомента.

Бимомент

Бимомент обычно представляют в виде двух изгибающих моментов, которые поворачивают сечение в разные стороны. Отсюда и название. При этом две крайние точки сечения оказываются растянуты, а две сжаты (Рис. 5). Другое представление бимомента – четыре сосредоточенные силы, приложенные в крайних точках сечения (Рис. 6).

Бимомент представление — Рис. 6. Как видно две силы растягивают сечение, а две сжимают.

Если же говорить о более классическом определении, то бимомент – изгибно-крутящий момент, образующийся при неравномерно нагрузке на профиль, или при нагружении профиля проходящем не через центр изгиба. Единица измерения бимомента кН/м², кг/см², или т/м².

Теперь поговорим о расчете бимомента, точнее о том, почему я не смогу вам это рассказать в полной мере.

Дело в том, что бимомент – самоуравновешивающееся усилие. Как мы уже видели в сечении действует два разных, разнонаправленных момента, которые в сумме дают 0. То же самое произойдет, если представить бимомент в виде сосредоточенных нагрузок.

Из этого следует, что мы не можем определить бимомент из уравнений статики. Более того, у бимомента нет даже единой формулы на все случаи. Формула бимомента меняется в зависимости от закрепления стержня и от прикладываемой нагрузки.

Внимание! Далее идет вывод последнего утверждения через дифференциальные уравнения, черную магию и колдовство вуду. Если математика у вас вызывает тошноту, головокружение, симптомы депрессии или вам просто не интересно, просто промотайте статью до следующего жирного шрифта. Если же вам интересно, как выводятся формулы бимомента, милости прошу.

Обратимся к старому доброму принципу – усилие равно деформация, умноженная на жесткость.

B=-EI_ωθ'', [\frac{кН}{м^2}]

где E – модуль упругости (кН/м²), Iω – секториальный момент инерции (о нем выше), а θ» – вторая производная от угла закручивания (θ [рад]) и первая производная от меры депланации (θ’ [рад/м]);

Возьмем условную задачу, где на стержень действует равномерно распределенная нагрузка с эксцентриситетом e. При этом об опорах пока говорить не будем (Рис. 7).

Угол закручивания нам неизвестен, как и другие перемещения во всех расчетах. Поэтому надо найти способ приравнять бимомент к внешней нагрузке. Иными словами, составить обычное условие равновесия. Получаем такое уравнение:

-B'+M_ω=m'_B

В данном случае Mω – секториальный крутящий момент, вызванный стесненным кручением (кН/м), m’B – первая производная от внешнего распределенного бимомента.

Поскольку в реальности внешнего бимомента особо не наблюдается, то это уравнение записывают в виде:

-B'+M_ω=0

Следовательно

M_ω=B'=-EI_ωθ'''

При стесненном кручении секториальный крутящий момент является частью общего момента кручения (Mк.общ).

M_{к.общ}=M_ω+M_к

где Mк – крутящий момент чистого кручения (если депланации не было бы);

В таком виде мы уже можем приравнять момент, связанный с депланацией к внешней нагрузке:

M'_{к.общ}=qe=m_z, [\frac{кН}{м}]

Это выражение гласит: производная (изменение по длине) общего крутящего момента равна внешнему распределенному моменту (mz), вызванному эксцентриситетом (e).

Подставим сюда предыдущее выражение

M'_ω+M'_к=qe=m_z

M_к=GI_tθ', [\frac{кН}{м}]

It – момент инерции при свободном кручении;

Тогда:

-EI_ωθ^{IV}+GI_tθ''=-\frac{m_z}{EI_ω}

После преобразований получаем неоднородное дифференциальное уравнение 4-го порядка.

θ^{IV}-k^2θ''=-\frac{m_z}{EI_ω}

Решение данного уравнения состоит из общего и частного:

θ(z)=θ_{общ}(z)+θ_{част}(z), [рад]

Общее решение имеет вид:

θ_{общ}(z)=Ash(kz)+Bch(kz)+Cz+D

A, B, C, D – константы интегрирования;

где k – изгибно-крутильная характеристика, которая отражает упругие характеристики стержня при стесненном кручении;

k=\sqrt\frac{GI_t}{EI_ω}, [м^{-1}]

Частое решение не имеет единого вида и определяется либо подбором, либо с помощью задания полиномов. Но в эту математику мы не полезем. Проблемы возникают уже на общем решении. Видите ли, все эти постоянные A, B, C, D зависят от начальных условий задачи. А начальными условиями в механике, помимо нагрузки, являются также закрепления стержня. И при каждой комбинации закрепления и загружения эти компоненты будут отличаться.

Конец! Можете открывать глаза.

Для иллюстрации приведу несколько вариантов расчета бимомента для разных задач.

Вариант 1: Шарнирно-опертая балка и сосредоточенная нагрузка с эксцентриситетом e. (Рис. 8).

Для участка от начала балки до расстояния t формула будет иметь вид:

B_ω=-\frac{Pe}{k}\frac{1}{sh(kl)}sh(kz)sh(k(l-t))

где k – изгибно-крутильная характеристика, м^-1;

z – координата по оси балки, м;

sh – гиперболический синус (шинус, но в матан мы не пойдем);

Для участка от t до конца балки формула будет иметь вид:

B_ω=-\frac{Pe}{k}\frac{1}{sh(kl)}sh(kt)sh(k(l-z))

Вроде изменения небольшие, но если вы ошибётесь, то не получите правильной эпюры. Для такой задачи эпюра бимомента изображена на рис. 9.

Эпюра бимоментов — Рис. 9. Эпюра бимомента при сосредоточенной нагрузке

Но если речь заходит о равномерно распределенной нагрузке с эксцентриситетом е, то расчет идет совсем по-другому (Рис. 10).

Равномерно-распределенная нагрузка — Рис. 10. Расчетная схема шарнирно-опертой балки с равномерно распределенной нагрузкой

B_ω=-\frac{m}{k}(1-\frac{ch(k(\frac{l}{2}-z)}{ch(\frac{kl}{2})})

где m – равномерно-распределенный момент m=q*e кН*м/м;

e – эксцентриситет приложения нагрузки, м;

ch – гиперболический косинус (чосинус);

Для такой задачи эпюра бимомента изображена на рис. 11.

Эпюра биомоментов — Рис. 11. Эпюра бимомента от распределенной нагрузки

Выглядит это все, конечно, страшно, но я могу ободрить вас, иногда в справочной и учебной литературе можно встретить упрощенные формулы. Но беда таких формул в том, что они применимы только в конкретных случаях.

Так в книге Д.В. Бычкова «Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций» [3] приводится следующая формула для расчета бимомента в однопролетных прогонах из швеллера:

B_ω=0,01αqel^2

где α – коэффициент, зависящий от произведения изгибно-крутильной характеристики балки k на пролет балки l;

e – эксцентриситет приложения нагрузки q, м;

На этом мы сегодня закончим. Сегодня мы узнали, что такое депланация, что такое бимомент, и как его можно определить. В следующий раз мы рассмотрим, как определяются нормальные и касательные напряжения от бимомента, и какие геометрические характеристики нужны в их расчете.

Информация о произведении

Автор: Д.А. Сабуров
Редактор, факт-чекер: Марк Ершов
Иллюстратор: Д.А. Сабуров

Условия использования: свободное некоммерческое использование при условии указания людей участвовавших в его создании и ссылку на первоисточник (статьи на действующем сайте интернет-журнала «Стройка Века»).

Для коммерческого использования — обращаться на почту:
buildxxvek@gmail.com

Список источников:

Рыбаков В.А. Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: учебное пособие. — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. Факультет технической кибернетики. 2010.
С. М. Тихонов, В. Н. Алехин, З. В. Беляева, С. В. Кудрявцев, В. А. Рыбаков, Т. В. Назмеева, Д. Г. Пронин, А. А. Комиссаров. Проектирование металлических конструкций.Под ред. А.Р. Туснина. – Ассоциация развития стального строительства. 2020.
Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций — М.: Госстройиздат, 1962.

11 536

Бимомент

Добавить комментарий Отменить ответ