В прошлой части мы выяснили, какие нормальные напряжения будут возникать при изгибе. Однако это не все воздействия, которые есть в сечении. Также необходимо учесть и касательные напряжения. Последние обычно возникают либо если сечение скручивают, либо если в нем возникают поперечные силы. О скручивании будет написано в других частях, а сегодня мы обсудим влияние поперечной силы на изгибающийся стержень. Для вычисления изменения поперечной силы и момента нам потребуется теорема Журавского, а для нахождения касательных напряжений формула Журавского

Какие силы действуют в изгибаемом стержне

В случае если на конструкцию давит сила или по ней распределена нагрузка, в ней возникают поперечные силы. Как мы уже говорили, момент – это произведение силы на плечо. И вполне естественно, что действующие в конструкциях поперечные силы будут приводить и к возникновению момента.

Для того, чтобы выяснить, как именно этот момент возникает, проведем мысленный эксперимент:
Жестко (чтобы не менял угол наклона в месте закрепления, противодействовал моменту) закрепим некоторый стержень на стене и надавим на его конец: 

Теперь разделим стержень на бесконечное количество пластинок с практически нулевой шириной dx:

Сила P будет пытаться сдвинуть самую крайнюю пластинку вниз. В компенсацию этой силе в стержне возникает поперечная сила сопротивления материала Qy, направленная в противоположную приложенной сторону по плоскости сечения. По закону Ньютона, где действие, там противодействие. И по этому закону в компенсацию поперечной силы сопротивления возникает ей противоположная сила, которая будет воздействовать на следующую пластинку:

В итоге получаем достаточно прозаичную формулу распределения поперечной силы:

Q_y=P

Не менее прозаично будет выглядеть и эпюра продольных сил:

Численно она будет равна приложенной к концу стержня силе. При этом, так как между центрами пластинок будет некоторое расстояние dx, на следующий элемент будет передаваться момент равный произведению силы на dx:

Итого, на первой пластинке, так как сила будет приложена к ее центру, момента m₁ не будет. Момент m₂ на второй пластинке будет равен произведению силы на расстояние между центрами пластинок:

m₂=P*dx=P*dx

Момент третьей пластинки будет складываться из момента, который перейдет со второй пластинки и момента возникающего под действием силы:

m₃=m₂+P*dx=2*P*dx

В конечном счете, каждый раз, когда мы будем смещаться в сторону от места приложения силы на одну пластинку, будет меняться лишь множитель. Общая формула для момента m n-ной пластинки будет выглядеть так:

m_n=n*P*dx

Ну если мы умножаем количество пластинок n на их ширину dx, то получаем расстояние от места приложения силы c. В итоге, эпюра момента под действием силы P будет выглядеть вот так:

Впрочем, помимо сил нам может попасться и распределенная нагрузка. Как в таком случае будет изменяться момент?

Рассуждения нашим будут абсолютно аналогичны. Разделим стержень на много тоненьких пластинок. 

На каждую пластинку ширины dx будет действовать небольшая сила q и поперечная сила от соседней пластинки:

Сила взаимодействия между пластинками в таком случае будет накапливаться.

Найти ее можно просто перемножив расстояние от начала действия распределенной нагрузки до интересующей нас точки на величину распределенной нагрузки:

Q_y=q*n*dx=q*l

Теперь разберемся с моментом. На первой пластинке момента не будет, по допущению, что сила q действует по ее середине. 

На вторую пластинку же по касательной будет действовать сила q. Так как между центрами пластинок есть расстояние dx, в ней возникнет момент равный произведению q на dx:

m₂=q*dx.

На третью пластинку будет действовать по касательной уже вдвое большая сила. Как следствие, для этой пластинки момент увеличится уже на 2q*dx:

dm_2-3=2q*dx

Суммарный момент третьей пластинки будет складываться из момента передавшегося со второй пластинки и момента возникающего под действием нагрузки:

m₃=m₂+2q*dx=(2+1)dx*q

Если мы будем продолжать данную операцию и дальше, то получим общую формулу для момента m n-ной пластинки:

m_n=(n+…+2+1)dx*q

Многочлен S_n=(n+…+2+1)dx- это сумма арифметической прогрессии. Ее находят как полусумму первого и последнего элемента умноженную на количество элементов:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Примечание: желающие могут взглянуть на вывод этой формулы в числах (в общем виде вывод практически аналогичен, но на числах он нагляднее), с сайта umath.ru[7]:

По легенде эту формулу вывел Карл Гаусс, когда школьный учитель математики решил подшутить над учениками, заставив посчитать сумму чисел от 1 до 100.

Подставляем нашу последовательность x₁=ndx+…+2dx+dx и получаем:
x_n=ndx+…+2dx+dx=(dx+ndx)*ndx/2=(n+n²)dx²/2

Так как число пластинок мы сделали ну очень большим (практически бесконечным), по сравнению с n² обычное n будет пренебрежительно мало. Например, если мы разделим стержень на 1000 пластинок, n² от n²+n будет отличаться на одну тысячную.

В итоге, получившуюся формулу можно представить как простейшее n²/2.

Подставляем все в исходную формулу: 

m_n=(n+…+2+1)*q*dx=n²*dx²*q/2=ql²/2

А эпюра момента под равномерно-распределенной нагрузкой будет выглядеть как полупарабола:

Теорема Журавского

Обобщает и упрощает расчет интегрирование. А метод нахождения поперечных сил и моментов известен как теорема Журавского. Для того, чтобы найти момент в определенной точке, необходимо взять интеграл от поперечной силы по длине:

M_z=\int_{0}^{x}Q_y dx

Поперечная сила не всегда постоянна на всем протяжении участка, как это, например, бывает при распределенной нагрузке. Чтобы найти поперечную силу, если балка находится под воздействием распределенной нагрузки, необходимо последнюю проинтегрировать:

Q_y=\int_{0}^{x} q_y dx

Ну а для нахождения момента при распределенной нагрузке, нужно эту нагрузку дважды проинтегрировать:

M_z=\int_{0}^{x}\int_{0}^{x}q_y dx

Если обобщить, то для нахождения момента в сечении надо дважды проинтегрировать распределенную нагрузку, сложить это с интегралом силы по расстоянию до опоры и с моментами, которые мы приложили к этом сечении.

Теорема Журавского в дифференциальной форме выглядит так:

q=\frac{dQ_y}{dx}

dQ_y=\frac{dM_z}{dx}

q=\frac{dQ_y}{dx}=\frac{d^2M_z}{dx^2}

Теорема Журавского позволяет вычислять попереченые силы и моменты. Отрезок балки под воздействием сложной системы сил:

Подробнее почитать о построении эпюр можно в соответствующей статье.

Выражены формулы взаимосвязи распределенной нагрузки, поперечных напряжений и моментов были Дмитрием Ивановичем Журавским и обобщаются как теорема Журавского.

Формула Журавского

В процессе проектирования железнодорожных мостов деревянные балки часто давали скол. На тот момент не было теоретического аппарата для выяснения точных значений касательных напряжений в сечении.  Их либо не учитывали, либо, по аналогии с нормальными напряжениями при растяжении/сжатии, считали равномерно-распределенными по всему сечению (т.е. τ=Q_y/F). 

Однако реальность упорно не хотела следовать расчетам: конструкции разрушались, хотя не должны были. 

При этом нормальных напряжений явно было недостаточно для скола. Журавский данную проблему решил за счет добавления в уравнение касательных напряжений и нашёл закон их распределения по сечению. Попробуем и сами вывести закон распределения касательных напряжений (более известный как формула Журавского).

У нас есть балка произвольного сечения под нагрузкой:

В этом стержне, под действием распределенной нагрузки изменяются момент и нормальные напряжения:

Если мы отсечем верхнюю или нижнюю часть стержня (так, чтобы линия среза была параллельна нейтральной линии), на данном участке возникнет нескомпенсированная продольная сила:

Журавский предположил, что ключом к ответу на вопрос, как именно распределяются по сечению касательные напряжения, может стать решение проблемы этой нескомпенсированной силы.

Разберемся в том, как касательные напряжения вообще могут распространяться в материале. 

Для этого вырежем из какой-то не разрушившейся конструкции куб с пренебрежительно малыми сторонами. Затем приложим к одной из его граней силу по касательной. Для того, чтобы куб уравновесить, необходимо приложить к поверхности этой грани касательную силу, но в другом направлении:

От касательных сил возникнет момент. А так как мы вырезаем куб из целой, не разрушенной конструкции, все силы и моменты должны быть скомпенсированы. Поэтому на соседних гранях возникнут такие же касательные напряжения с противоположным моментом:

Иными словами, если конструкция сохраняет свою форму, каждое касательное напряжение по оси x на одной из сторон куба будет уравновешено точно таким же, но в обратном направлении на противоположной стороне куба. А получившийся момент будет скомпенсирован касательными напряжениями по оси y.

Так как касательные напряжения по y приведут к возникновению точно таких же касательных напряжений по x, разумно предположить, что приращение нормальных напряжений можно скомпенсировать касательными напряжениями.

Возвращаемся к нашему стержню. Мы вырезали некоторую его часть и хотим компенсировать избыток продольной силы, за счет касательных напряжений приложенных к поверхности горизонтального сечения:

Для того, чтобы система оставалась неподвижной, необходимо, чтобы продольные и касательные силы в сумме давали ноль:

-N+(N+dN)-τ*b(y)=0

dN-τ*b(y)=0

dN=τ*b(y)

Остается дело за малым: выяснить чему будет равно изменение продольной силы на отсеченной нами части. Для этого нам нужно просуммировать все напряжения в ней возникающие:

dN=∑dσ=∫dσdF

Подставляем формулу из прошлой части для нахождения нормальных напряжений при изгибе и изменения момента под действием поперечной силы из этой:

dσ=ydM_z/J_z, dM_z=Q_y

Примечание: дальше мы будем использовать такие понятия как момент инерции I и статический момент S. Если вы хотите поподробнее узнать про то, откуда появились данные величины, каков их физический смысл и как их находить, то вы можете это сделать прочитав наши статьи:

1. Статический момент
2. Момент инерции
3. Момент сопротивления изгибу

В итоге избыток продольной силы будет равен:

dN=\frac{Q_y\cdot dx}{I_z} \int y dF

F_отс.∫ydF — это статический момент инерции отсеченной фигуры S_отс. Таким образом формулу можно записать чуть элегантнее:

dN=\frac{Q_y\cdot S_{отс.}\cdot dx}{I_z} 

Как мы уже говорили, чтобы тело находилось в равновесии необходимо, чтобы избыточная продольная сила компенсировалась касательной:

dN-τ\cdot b\cdot dx=dx(\frac{Q_y\cdot S_{отс.}}{I_z}-τ\cdot b)=0; 

Или:

 τ\cdot b=\frac{Q_y\cdot S_{отс.}}{I_z}

Теперь мы можем сказать, по какому закону будут распределяться касательные напряжения при изгибе:

 τ=\frac{Q_y\cdot S_{отс.}}{I_z\cdot b}

Вычисление касательных напряжений по формуле Журавского

Разберем распределение касательных нагрузок на простейшем примере. На прямоугольном брусе.

Нам нужно выяснить, какие касательные напряжения будут в каждой точке сечения. Величина Qy нам задана. Ширина b тоже. Момент инерции Iz мы тоже для всего сечения мы тоже знаем:

 I_z=\frac{b\cdot h^3}{12}

Остаётся найти момент отсеченной части. В данном случае мы отсекаем все, что снизу:

Статический момент (посмотреть как вычисляется можно по ссылке) равен произведению площади на центр масс:

S_отс=F*l

Где l расстояние до центра масс (в данном случае до середины) отсеченной фигуры, а F площадь, которую можно найти перемножив высоту отсекаемого прямоугольника (h/2-y) на его ширину b. Расстояние до центра масс же можно найти сложив верхнюю (h/2) и нижнюю (y) границу и поделив это выражение на два (потому-что нам интересно найти середину):

 I_z=\frac{\frac{h}{2}+y}{2}

S_{отс.}=F\cdot l=\frac{b(\frac{h}{2}+y)(\frac{h}{2}-y)}{2}

Получаем напряжение в середине:

τ=\frac{Q_y\cdot S_{отс.}}{b\cdot I_z}=\frac{12\cdot Q_y \cdot b\cdot(\frac{h^2}{4}-y^2)}{2\cdot b^3\cdot h^3}=\frac{6\cdot Q_y \cdot (\frac{h^2}{4}-y^2)}{b^2\cdot h^3}

Теперь остается только подставить в уравнение получившуюся для этого сечения поперечную силу Qy и можно посчитать, какие касательные напряжения будут возникать на каждом расстоянии y от нейтральной линии.

Так как в уравнении меняться будет только y, выражение можно представить в виде:

τ=C-B*y^2

Где B и C константы, а при y=h/2 τ=0.

Ну и, очевидно, что когда y=0 (т.е. посередине сечения), напряжение максимально. 

Т.е. изменяться касательные напряжения будут по параболе, где максимум будет на средней линии, а ноль на верхней и нижней грани сечения. 

Если сечение не прямоугольное, ширину b надо будет представить как некую функцию b(y).

τ=\frac{Q_y \cdot S_{отс.}(y)}{b(y)\cdot I_z}

Форма эпюры напряжений могут меняться, но характер будет будет остаться прежним: по мере движения к центру напряжения будут расти. 

Ещё в прошлой части мы вывели закон распределения нормальных напряжений при изгибе: напряжения изменяются по линейному закону от своего минимального (максимальное сжатие) до максимального (максимальное растяжение) значения. 

А сейчас мы выяснили, как распределяются по сечению касательные напряжения. Если стержень имеет одинаковую ширину на всей высоте сечения, то напряжения меняются по параболе. Но в прошлой части мы также говорили, что для экономии материала гораздо целесообразнее использовать сечения сложной формы (для нахождения моментов инерции гуглить “сортамент, прокатные профили”).

Например двутавр, у которого максимальная ширина по краям, где нормальные напряжения максимальны. Как мы уже выяснили, касательные напряжения сильно зависят от ширины сечения. Есть точки, где ширина уменьшается и происходит увеличение касательных напряжений, но нормальные напряжения все ещё велики. Их следует проверить, точно ли они выдержат нагрузки. И необходим математический аппарат для предсказания прочности, учитывающий эти два вида нагрузок.

И на него нет однозначного, исчерпывающего ответа. Но есть ответы практические, каждый справедливый для своих границ применимости. И эти ответы называются теориями прочности. И о них мы расскажем в будущем.

В рамках темы изгиба наибольшую применимость имеет теория «Наибольших касательных напряжений» (Третья теория прочности). Чаще всего её используют для металлов или материалов, плохо сопротивляющихся сдвигу.

Для того, чтобы понять, выдержит ли материал, в рамках теории наибольших касательных напряжений, нормальные и касательные напряжения приводят к эквивалентным напряжениям, которые должны быть меньше предельных напряжений при растяжении/сжатии по определенной формуле. Ее вывод мы сейчас производить не будем, предлагаем просто поверить на слово, что эквивалентные напряжения должны быть меньше опасных и рассчитываются так:
σ_экв.=√(σ²+4τ²)<[σ]

Возвращаемся к двутавру. Какие у него будут самые опасные точки, которые надо проверить? Такие, где возникают максимальные напряжения и где высокие и нормальные и касательные напряжения:

Из прошлой части мы знаем, что наибольшие нормальные напряжения находятся на самых удаленных от нейтральной линии участках сечения. Так как там отсутствуют касательные напряжения, достаточно чтобы нормальные напряжения были меньше опасных:

134МПа<[σ]

Максимальные касательные напряжения возникают в середине сечения. Так как нормальные напряжения будут равны нулю, формула σ_экв.=√(σ²+4τ²) превращается в простейшее σ_экв.=√(4τ²)=σ_экв.=2τ

Подставляем значение и оказывается, что материал должен выдерживать аж 182 МПа:

2τ=91*2=182МПа<[σ]

Если данный материал такие напряжения выдерживать не способен, придется выбирать другой прокатный профиль (например, с большей шириной промежуточной полки). Ну а если способен, надо рассчитать третью точку. Она будет находиться на месте, где промежуточная узкая полка переходит в широкую. Подставляем в формулу значения нормальных и касательных напряжений:

σ_экв.=√(σ²+4τ²)=√(134²+4*64²)=√(19.000+4*4.100)=√35400=188,2 МПа<[σ]

Если допускаемые напряжения меньше, значит сечение подходит. Если нет, значит придется искать сечение с лучшей способностью сопротивления касательным и нормальным напряжениям. Например, следующий номер двутавра.

Для того, чтобы выяснить, выдержит ли деталь нагрузку, необходимо проверять эквивалентные напряжения (с чем поможет формула Журавского и третья теория прочности) в максимумах моментов и поперечных сил (с чем поможет теорема Журавского), а также на местах, где совпадают большие моменты и поперечные силы:

Вот мы и разобрались с ещё одним источником опасности для прочности конструкции: с касательными напряжениями от поперечных сил. Главный инструмент в поиске поперечных сил, моментов — теорема Журавского. А найти касательные напряжения поможет формула Журавского.

Теперь в теме изгиба нам остаётся только научиться считать, как будет деформироваться балка под действием момента.

Информация о произведении
Автор: К.А.Овчинников
Редактор, факт-чекер: Д.А. Сабуров, Марк Ершов
Иллюстратор: Михаил Корнев [I]

Информация о произведении:
Условия использования: свободное некоммерческое использование при условии указания людей участвовавших в его создании и ссылку на первоисточник (статьи на действующем сайте интернет-журнала «Стройка Века»).

Для коммерческого использования — обращаться на почту:
buildxxvek@gmail.com

Источники

1. Лекции по сопротивлению материалов в СПбПУ им. Петра Великого
2. Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов. – Физматлит, 2002. – С. 548-548.
3. iSopromat Формула Журавского // https://youtu.be/4rsFdn5fSrU 
4. Kirsanov2011 Формула Журавского // https://youtu.be/AZE70B9m2lA 
5. Основные теории прочности // http://sopromat.in.ua/handbook/teorii-prochnosti 
6. Гипотезы прочности // http://k-a-t.ru/tex_mex/5-sochetanie_defor2/index.shtml 
7. https://umath.ru/theory/posledovatelnosti/arifmeticheskaya-progressiya/