В статье про давление нам рассказали о том, как определяется понятие давление, и вывели школьные формулы давления в жидкости, по типу P=ρgh. Здесь  мы считали поле тяжести и плотность среды постоянными. Иногда такая формула применима и для газов, например, для атмосферы земли у самой поверхности. Однако мы знаем, что газ сжимаем (как, вообщем-то, и жидкость, но её гораздо сложнее сжать). А при сжатии среды увеличивается её плотность. Получается, что нижние слои наиболее плотные, так как над ними максимальный столб газа (или жидкости), а верхние — наименее плотные, и такая неравномерность плотности в столбе приводит к довольно большим отклонениям от первой формулы.
Попробуем вывести математическую формулу более точного распределения давления газа на разных высотах и проанализировать её. 

Представим тонкий слой вещества в столбе толщиной dh. Чтобы он не падал под действием силы тяжести, необходимо прикладывать силу, равную по модулю и противоположную по направлению. Эта сила будет обуславливаться разностью давлений dp. При положительном перепаде высоты dh (т.е. если подняться выше), давление уменьшается, то есть dp отрицательно. Поэтому условие равновесия будет иметь вид

mg=-dp*S

где S это площадь некоторого слоя, g – ускорение свободного падения, а m – масса. Чтобы найти массу, можно умножить плотность ρ на объем. Объем – это произведение площади S на высоту dh. Благодаря этому можно упростить уравнение. Площадь входящая в обе его части сразу же у нас сократится.

ρ*S*dh*g=-dp*S

-dp=dh*ρ(h)*g

Газ находится при невысоком давлении и может считаться идеальным. Температуру, для начала, тоже будем считать одинаковой как у самой земли, так и на любой другой высоте.

Плотность идеального газа можно выразить из уравнения Менделеева — Клапейрона:

pV=\frac{m}{μ}RT

разделим обе части на V, заменяя сразу m/V на ρ

p=\frac{ρ}{μ}RT

ρ = \frac{pμ}{RT}

, где ρ — плотность, R — универсальная газовая постоянная,T  — Абсолютная температура, μ — молярная масса газа. Подставляем плотность в условие равновесия и получаем диффур:

\frac{-dp}{p}=dh \frac{gμ}{RT}

Интегрируем от p0 до p слева, и от 0 до h справа

\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{p}=-\int_{0}^{h}dh \frac{gμ}{RT}

\ln(p/p0)=-μgh/(RT)

И, наконец, получаем экспоненциальное убывание давления

p=p0*\exp(\frac{-hgμ}{RT})

Учтем теперь, что ускорение свободного падения тоже зависит от высоты.

g=g0*(r0/(r0+h))^2,

g=g0*(\frac{r_0}{(r_0+h)})^2

где g0  это ускорение у поверхности земли, r0 — радиус Земли.

\frac{-dp}{p}=dh \frac{μg_0}{RT} *(\frac{r_0}{(r_0+h)})^2

Интегрируя, получаем такую формулу

p=p_0*\exp( \frac{-μg_0r_0 }{ RT} *\frac{ h}{(r_0+h)} )

С точки зрения матанализа мы получили другую функцию, у неё даже предел равен не нулю, а числу порядка 10^-328, но позже мы увидим что изменений практически не произошло, и что поправка очень мала.

Также известно, что до высоты 11км температура линейно уменьшается примерно до -60 градусов Цельсия (с коэффициентом 0,0065К/м). Используем эту информацию для того чтобы усложнить нашу задачу.

\frac{-dp}{p}=dh \frac{μg_0}{R (T0-0,0065h)} *(\frac{r_0}{(r_0+h)})^2

С помощью метода простейших дробей несложно получить решение, однако оно слишком громоздко из-за кучи коэффициентов, поэтому не будем его выписывать и ограничимся сравнением графиков. Предлагаем его вывести и опубликовать в комментариях читателям. 

На графике по вертикали отложено давление в Паскалях, а по горизонтали высота в метрах. Видно, что расчет по школьной формуле не дает больших отклонений до первых 2 км, классическая формула для барометрического распределения дает более реальные значения, но слегка завышенные. Учет уменьшения ускорения свободного падения дает минимальное понижение графика, в отличие от учета понижения температуры. 4-ый график (с учётом падения температуры) практически совпадает с Международной стандартной атмосферой (условным вертикальное распределение температуры, давления и плотности воздуха в атмосфере Земли принятое международной организацией по стандартизации), который на графике показан точками.

Стоит также отметить, что выше 11км температура, наоборот, повышается, и там функциональная зависимость будет немного другой, нежели чем на продолжении 4 графика.

Автор: Янушкевич Коля
Редактор, эксперт:  К.А.Овчинников
Корректор: Сабуров Даниил

Информация о произведении:
Условия использования: свободное некоммерческое использование при условии указания людей, участвовавших в его создании, и ссылки на первоисточник (статьи на действующем сайте интернет-журнала «Стройка века»).
Для коммерческого использования обращаться на почту: buildxxvek@gmail.com

• Что это такое полосатое и длинное?
• ЛДГ — биомашина и незаменимый помощник врача
• Барометрическое распределение. Стандартная атмосфера.
• Термодинамика: температурная шкала и молекулярно-кинетическая теория газов
• Парниковые газы: с чем мы на самом деле боремся